Fuente: Wikipedia.

Los 23 problemas de David Hilbert y el inicio de la matemática moderna

Por Daniel Grimaldi - 9 Ago. 2021 12:00

Tiempo de lectura: 7 minutos.

La matemática nunca fue como la conocemos. Los símbolos, las fórmulas, la generalidad y la formalización tomaron un nuevo sentido a partir del manifiesto que David Hilbert pronunció el 9 de agosto de 1900 en el II Congreso Internacional de Matemática. En esta presentación, el icónico matemático delineó el camino a seguir que transformaría no sólo a la disciplina, sino al mundo entero.


Las investigaciones en matemática del siglo XIX desembocaron en una “crisis de identidad” de la disciplina. Las reglas de la geometría clásica, propuestas hacía más de 2 000 años por Euclides y consideradas absolutas y dadoras de una verdad eterna, se estaban resquebrajando. Muchos fueron los factores: por un lado, la aparición de otras geometrías igual de válidas e interesantes pero con propiedades extrañas. Por otro lado, al álgebra venida de Oriente, que durante mucho tiempo se había aprovechado del formalismo geométrico europeo para desarrollarse, le estaba empezando a “quedar chico” para poder representar todo su potencial. Y por si todo esto fuera poco, mientras que puertas adentro el interés se centraba más en abstraer y generalizar ideas evitando ambigüedades, el resto de la comunidad científica demandaba que todo conocimiento debía contrastarse con la realidad o al menos dar una aplicación concreta, para poder asignarle un valor dentro de una sociedad cada vez más capitalista. En resumen, la que alguna vez fue la reina de todas las ciencias por ser dadora de certeza, estaba perdiendo su credibilidad: ya no podía identificar cuál era el valor de verdad de lo que afirmaba. Era el momento de poner las cosas en orden otra vez.

En la geometría esférica no es cierto que la suma de los ángulos de un triángulo valga 180 grados. Estas situaciones marcaron un quiebre en la confianza que se tenía sobre la geometría clásica.. Fuente: Lars H. Rohwedder (Wikipedia)

Bien sabemos que el inicio de un nuevo siglo genera en los humanos un interés en el futuro. David Hilbert sabía esto y no perdió la oportunidad para presentar su mirada de cómo debía ser el futuro de la matemática en el cambio al siglo XX. Él ya venía trabajando duro en pos de devolverle el valor de verdad a las afirmaciones matemáticas. Su re-formalización de la geometría de Euclides no era tan sólo una manera de tapar los agujeros que dejó el geómetra de la antigüedad, era un ejemplo de cómo se debía trabajar en esos tiempos: había que abandonar las intuiciones y entender que la matemática no estudia objetos, como números o formas geométricas concretas, sino las relaciones entre objetos. Es decir, el interés debía estar en presentar reglas bien formuladas y sin ambigüedades que vinculen a objetos (que pueden estar o no en la realidad). A esta manera de pensar la matemática se la comenzó a llamar “Formalismo”, una idea que luego fue tomada y desarrollada posteriormente por los Bourbaki. Por supuesto, había otras ideas que se oponían a esta mirada, entre las que podemos encontrar principalmente al “Intuicionismo” y al “Logicismo”. La idea intuicionista de Luitzen Brouwer, derivada del “Constructivismo”, afirmaba que la validez de un objeto matemático viene dado por la construcción mental e intuitiva de les matemátiques que lo generaron. Es decir, que los objetos matemáticos no son más que ideas construidas por la mente humana. En cambio, Bertrand Russell y Alfred Whitehead propusieron una postura logicista, ya que consideraban que la matemática es un subproducto de la lógica algebraica, por lo que la matemática sólo afirma verdades de este tipo. Estas y muchas otras ideas eran propuestas que intentaban, a su manera, salvar la crisis fundacional de la matemática.

El II Congreso Internacional de Matemática realizado en París en 1900 fue el campo de batalla de estas diferentes posturas. Fue allí donde Hilbert aprovechó todas sus influencias acumuladas en sus 38 años de vida y todo su carisma para cautivar a su público sin perder la oportunidad de criticar a sus adversarios. Entre sus principales afirmaciones estaba la de no descartar a la geometría como herramienta demostrativa ni reducirla a formulaciones algebraicas (rechazando la propuesta logicista), ya que ella nos vinculaba con los problemas de la realidad. Por otro lado, tampoco consideraba válido rechazar las ideas que surgían de la imposibilidad de construir algo (rechazando la idea intuicionista y constructivista), ya que eran el primer paso para la motivación de otras ideas que las suplantaran. También consideró que el origen del conocimiento matemático venía del íntimo vínculo entre la realidad y las ideas, por lo que no se debía apostar por perder ese vínculo. De esa manera, afirmaba que el único camino posible era el de construir reglas claras que aunaran todo lo hecho hasta ese momento y que fueran la base para el desarrollo de nuevas demostraciones. Incluso fue más allá y dio su afirmación más audaz: “en la matemática no hay ignorabimus”, en clara oposición al lema agnosticista Ignoramus et ignorabimus, "desconocemos y desconoceremos". Esta es la concepción usual que se tiene del conocimiento matemático, de que tarde o temprano todo es demostrable.

Pero, ¿Cuáles eran los problemas que Hilbert pensaba resolver con estas nuevas reglas? Él propone entonces una lista de 23 problemas o conjunto de problemas, que hoy, 121 años más tarde, podemos clasificar a través de sus consecuencias. En esa selección se puede notar un interés en dar respuestas efectivas a problemas tanto concretos como generales, que venía tomando forma desde tiempo atrás. Por ejemplo, estaba el Problema de los 3 Cuerpos: ¿cómo modelar la interacción de la gravedad de tres astros, concretamente, el sol, la Tierra y la Luna? En el otro extremo estaba allí la formalización matemática de varias teorías físicas que estaban surgiendo en ese momento (años más tarde aparecería la Relatividad, uniendo la física de Newton con el electromagnetismo). También había problemas intrínsecos de la matemática, asociados a conjeturas como el Último Teorema de Fermat o a la clasificación de diferentes tipos de números.

El décimo problema que resultó ser imposible, debía resolver entre otros problemas el Último Teorema de Fermat. Fue Andrew Wiles en la década de 1990 quien lo termina demostrando..

Aunque estos problemas parecen ser inocentes en lo cotidiano, fueron claves para el desarrollo bélico usado en las Guerras Mundiales, las redes de comunicación a nivel global y toda la tecnología desarrollada durante el siglo XX, ya que se centraban en la optimización de recursos de todo tipo y de potenciar el poder de cálculo. Hilbert era consciente de que su propuesta revisionista no se centraba en poder validar de forma correcta todo lo hecho en el pasado, sino en revitalizar el rol que la matemática había tenido asignado desde siempre: ser la ciencia que una en un mismo lenguaje a todo el conocimiento científico y la tecnología asociada, preservando su lugar como "dadora de verdad última". La matemática debía ser el lugar donde se podía descansar sobre las certezas de un mundo, en el que se sentía en el aire que estaba por cambiar radicalmente.

Como todos estos problemas requerían demostraciones que debían ser lo más rigurosas y simples posibles, las reglas que Hilbert imaginaba debían ser tanto intuitivas como consistentes. ¿Cuán intuitivas debían ser las reglas y cuán simples las demostraciones? Según el programa que Hilbert desarrolló en las siguientes décadas, se debía llegar al punto tal de que con esas reglas se puedan armar programas automáticos que devuelven una demostración validando o negando las afirmaciones matemáticas. De esta manera se ponía sobre la mesa la idea de desarrollar algoritmos con un lenguaje lógico específico. Este objetivo, alineado con la necesidad de dar soluciones efectivas, fueron el germen que eventualmente desembocó en la teoría de la computabilidad. Por otro lado, la cuestión de la consistencia era clave para devolverle la credibilidad a las afirmaciones matemáticas, por lo que era de mucha importancia que la consistencia de las reglas formara parte de todo lo  que se pudieran demostrar. Una vez más aparecía la convicción de que toda afirmación debía poder demostrarse. Lamentablemente para los formalistas, Gödel demostró 30 años más tarde, que no es posible demostrar tal consistencia si usamos reglas que generen números naturales, dando la respuesta casi negativa al segundo problema de Hilbert y, peor aún, poniendo fin al programa original del matemático.

Alan Turing se lo considera uno de los padres de la computabilidad..
Kurt Gödel es mundialmente conocido por sus teoremas de incompletitud, que implican que hay verdades que no pueden ser demostradas..

A pesar de esta derrota, el mundo siguió girando y el programa fue mutando, pasando de manos y combinándose con ideas con las que alguna vez compitió. Por supuesto, las contiendas filosóficas siguen hasta el día de hoy, y cada integrante de la comunidad matemática termina tomando su postura personal y trabajando según esa idea. Respecto a los problemas, podemos decir que la propuesta fue un éxito, con varios resueltos total o parcialmente y quedando sólo 3 pendientes de la lista original (por supuesto, desde la mirada formalista más optimista). Otros matemáticos e Instituciones promovieron otras listas de problemas sin resolver, pero ninguno hasta el momento tuvo el éxito del programa de Hilbert. Tal vez el más cercano a lograrlo sea la propuesta realizada por el Instituo Clay al cumplirse los 100 años del manifiesto del Hilbert, presentando la lista conocida como los 7 Problemas del Milenio. En ella sólo aparece uno de los problemas originales, la conjetura de Riemann. pero en la selección se puede notar el espíritu integrador de la idea de Hilbert y un incentivo: un millón de dólares por cada solución. Ya hubo soluciones que merecen ser contadas, pero esa es otra historia.



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